RL直流回路の過渡現象

2011.10.11 : この記事のアクセス数の多さに驚いたとともに (現時点で日別 PV 200 前後ですが、20% 近くをなぜかこの記事が占めています)、やっぱり私には「です、ます」という調子の方が合ってると思ったので最近の記事と同じ書き方に修正しました。
 この記事では、過渡現象の入り口として一番最初に具体例に使われることが多い “RL 直流回路” だけに的を絞って、過渡現象とは何か、また、どのように式を立ててどういうノリで解いていけば良いのかを紹介します。他の回路も、方程式の解き方はある意味職人的な面もあるのでそのときそのときですが、全く同じように解析が可能です。

過渡現象とは?

 今まで、直流回路では E=RI という、誰もがしっているオームの法則と、キルヒホッフの何とか法則 (や、諸定理) を用いて回路を解析してきました。おそらく高校物理の範囲では、たまにキャパシタ (capacitor) やインダクタ (inductor) を含む問題も登場したと思いますが、結局、そのときの扱いは非常に簡単なもので、

  • キャパシタは、(最終的には) 電流を流さないので、開放と同じ扱い
  • インダクタは、(最終的には) 逆起電力は生じないので、短絡と同じ扱い

ということでした。実際、高校の時はそういうふうに扱ってよかったので、大して難しいものでもなかったと思います。しかし、こんなにも扱いが簡単なのは、上に (最終的には) とあるとおり、すべて十分な時間が経過しているからであり、本当は全然簡単ではないどころか、地獄 (計算するという意味において) です。どちらの素子も、本来はそれまでの過程にそれぞれ時間的変化による物理現象を生じ続けています。交流回路においては、電流電圧が常に変化し続けるために、キャパシタとインダクタには抵抗のようなもの (逆起電力といい、それぞれ微分積分に比例したものでしたね) が発生し、さらにベクトル記号法によって時間因子を除いてしまうことができるために、それぞれインピーダンス 1/jωC と jωL という量を使えば複素電流と複素電圧の関係において、これらは時間変化しているにもかかわらず、抵抗と全く同じように扱ってよいという、とても簡単な解析方法があるのでした。
 でも、直流だって、よく考えたら・・・電源を入れるとすぐに電流が流れるのでしょうか?やはり、これらの素子があると、 0 からある電流に近づこうとするために、それぞれの素子に物理現象が発生し、今まで解析してきた、十分時間が経った状態、つまり定常状態に近づくのを邪魔しようとするのです。この状態のことを定常状態に対して過渡状態といい、このような現象のことを過渡現象 (transient phenomena) といいます。つまり、過渡現象はこの二つの素子が時間変化を妨げようとするから起こるのだということです。抵抗は時間変化に反応しないので、過渡現象を作る要因ではありません (ただし、時定数といった、様々な要因にその値が絡んでくるのでどうでもいいというわけではありません)。
 ここでは、授業などは意味不明すぎて何をいっているかわからなかったので、自分で書籍などを購入し自分なりに導いた結論を述べます (というのが 1 年半前にこの記事を書いた目的でした)。以下は参考文献として示しておくので、「こんなインターネットの誰が書いたかも知らない記事を参考にするのは嫌だ」という人は、それらを購入しましょう。買えばきっと、こんな記事以上に得られるところがあるはずです。

  • 大学課程 過渡現象 (改訂2版) – オーム社
  • 電気回路の基礎 – 昭晃堂
  • 詳解電気回路演習 (下) – 共立出版社

過渡現象時のコイルの扱い方

 インダクタは電流の時間変化に対して逆起電力を生じるので、直流回路においては、抵抗が Ri の電圧降下を生じるように、

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の電圧降下が生じると見てもよかったのでした。これは電磁気学的には、電磁誘導の法則として説明されるものだったと思いますが、まぁ回路理論ではそんなのはどうだっていいことです。とにかく物理学的な簡単から色々難しいことをしたら最終的にこういう関係にあることが分かったのです。だから今後はこれを使います。したがって、基本的にはキルヒホッフの電圧則 (KVL = Kirchhoff’s Voltage Law) に沿って抵抗の電圧降下と、インダクタのこの電圧降下を含めた回路の方程式をたてることになりますね。微分が出てくるので当然、あの、(主に計算量という点において) おぞましい記憶しかないであろう微分方程式になってしまいます。そうはいうものの、交流回路の定常状態の解析も回路の方程式だって、いつのまにか jωL とか訳分からない代数計算をやっていたけれども、元々これと全く同じ、微分方程式でしたよね。でもこの時は電流電圧が正弦波であるという条件のもとで定義したフェーザというすごい便利な概念があったおかげで、微分積分を jω、1/jω におきかえてただの簡単な計算をするだけで解けたのです。しかし直流はそういうわけにはいかず、残念ながら、この微分方程式を正面から解く必要があります。では実際に、式を立てて解いてみましょう。

RL直列回路の方程式 – スイッチ開放状態からの移行

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 まず、RL 回路といわれて一番に思いつきそうな、上の図の回路について見てみます。最初、スイッチは開いているので、回路に電流は流れていないでしょう。ここで、t=0 でスイッチを閉じたとします。電流は流れ始めるでしょう。上で検討した内容により、回路の方程式は、KVL を用いて、

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と書くことができるはずです。このような形は最も簡単な “変数分離形” といわれる微分方程式であるため、微分方程式の詳しい知識がなくても簡単に解くことができます、命拾いできましたね。(自分もそうであるように、おそらくこのページを見るような人はそんなところ見さえしなかったと思いますが) 高校の数学 III でも発展として少しだけ取り扱われているので、そんなに尻込みする必要はないと思います。まず、これは i についての方程式です。まずは、左辺に i の微分を、右辺に i の関数を、というかたちにもっていきます。

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つぎに、i の関数で両辺を割り、また i の微分についている係数でも両辺を割ります。すると、次のようになります。

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こんなことをして何の得になるのかという話ですが、微分係数 di/dt は形式的に分数のようになっていて、本当は分数ではないのですがまるで分数のように扱ってもよいということでした。高校の数学でも dy/dx = 1/(dy/dx) のようなものは習いましたね。そういうノリで、両辺に形式的に dt をかけて

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とします。したがって、両辺に積分記号をつけてもこの関係は等しいので、

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とできます。方法としては、di/dt の形式的な分母・分子にあたる微少量 di, dt を、左右に割り振ります。i は t の関数ですが、具体的に t でどう表現されるかわかっていない以上、原始関数を求めることができないので、di のあるほうに割り振って i の積分、dt のあるほうはただの定数だからそのまま積分、としてその積分結果から具体的に i を求めよう、ということになります。

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それぞれを積分すればこういうことですね。左辺は i で積分しているので i に係数 -R がついていることを忘れないようにします。丁寧にやるなら、いわゆる置換積分で解く方法でしょうが、過渡現象を考えるような段階でこの計算を出来ないということはないと思うので、一気に上の式を出してしまいます。積分定数は C とおくのが高校数学の習わしでしたが、回路理論においてはキャパシタンス C が登場するので積分定数は A とでもしておくといいのではないでしょうか (あの C は元々定数を意味する constant の C でしたが、まあ何でもいいですよね)。左辺も右辺も積分定数を出しますが、定数から定数を足しても引いても定数は定数なので、一つにまとめて A でいいからこういうことになっています。もっというと、あとで適切な条件を決めれば A が適切に定まるため、移行しても定数をかけても、その符号、係数の変化は無視して A のままでいいのです (といっても、当たり前の話ですが、この A を定めた後、別の定数を定義するとなるとそこからは話が変わってくるので注意です)。

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変形するとこのようになります。すぐ上で書いたようにあとで条件を決めれば適切に A は求まるので、 -R をかけても A のままにしておけばよいですね。答えを出す上では、係数をつける必要もないし、符号を変える必要も全くないです。本当は数をかけたのだから A’ とでもしておくべきでしょうが、面倒なのでここでは A のままの表記を用いることにします。log の中身というのは e の右辺乗、というのが定義だったので、その関係を用いれば

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となります。e の A 乗自体を改めて A とおきました。これもまた定数だからこういうふうにしちゃうんですね。これに違和感を持たなくなったら微分方程式になれたということなんだろうと思います (なのにいつまでも +A が e の肩についているのは、編集ミスなので間違えないようにしてください)。

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結局、こうであることがわかりました。あとは、A がなんであるか求めればそれで終わりです。これは、初期条件 (I.C. = Initial Condition) から決定することができます。t=0 でスイッチを閉じたときどうなっていたか、そのときの電流の条件などを考慮してこの式に代入して A を求めればよいのです。上の図から、最初電流は全く流れていないのだから、当然時間関数 i(t) において、i(0) = 0 ですね。このことから

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であることがわかりました。したがって、i は、

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です。端子電圧は、

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となります。電流をグラフに示すと

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のようになるでしょう。数字が書いてありますが、それらはこちらがグラフを書きやすいように値を決めただけのものなので、本当にこのグラフが接近しているのは当然 1 ではなくて E/R なのに注意しましょう。要するにこのグラフを見て分かるのが、指数関数的な減少をしている、ということですね。e は自然対数ともいいましたが、こういう自然 (物理) 現象でたびたび姿を現すから、その定義自体はとても不自然に見えるものの、名前が “自然” 対数なのかもしれませんね。L の端子電圧については、

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です。両者とも t=0 以前については考えていないのだから、O より左は無効なので注意が必要 (こちらのソフトの都合で t<0 が消せなかったのでそのまま)。たしかに、定常状態においては L には電圧がかからなくなり、短絡と同じになることがわかります。
 次に、エネルギーについてです。瞬時電力 (Instantaneous Power) の定義は p = ie つまり電流かける電圧になっているので、L の瞬時電力は次のようになります。

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定常状態になるまでに消費したエネルギーを知るためには、p を 0 → ∞ まで積分すればよいですね。

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I0 は定常状態における電流 E/R を表します。したがって、高校で習ったとおり、定常状態になるまでの間、インダクタは LI2/2 のエネルギーを消費した (蓄えた) ことがわかりました。
 ところで、ここで τ = L/R をおいてみます。τ はギリシア文字でタウと読みます。t ににているので、時間を表す定数をおきたいときたまに使われます。この τ のことを時定数 (Time Constant) といい、t=0 から電流が最大、つまり定常値の 63.2 % に近づくまでの時間を表しています。要するに、過渡現象を扱う際の、その回路の一種の特性値といえるものですね。しかし、これだけではなんでそんな数値になるのかがよくわからないので、次に、時定数 τ [sec] 経過した後の電流は、定常電流の 63.2 % になることを示しましょう。たいして難しいことではありません。まず、いうまでもなく定常電流 I0 = E/R で、次に、i(τ) を求めると、

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したがって、定常電流との比をとると

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ということです。以上から、時定数 [sec] 経過したときの過渡電流は、定常電流の 63.2 % の値をとることがわかります。時定数は、t=0, ∞ 以外に、この e の値が最も簡単になるような値になっていて、言い換えれば、e の累乗の部分の分数を打ち消すような値になっているので、そのように覚えれば覚えやすいと思います。63.2 % は覚えなくてもこうやって出せば e が 2.7182・・・ であることさえ知っていれば簡単に手計算でも出せるでしょう。

RL並列回路の方程式 – 定常状態からの移行

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 次は、定常状態で、電流が流れている回路において、t=0 でスイッチを開くとします。定常状態においては、L は短絡なので、R の方に電流は流れていません。スイッチを開くと、R と L だけの回路になります。したがって、回路の方程式は

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です。これは、前節において E=0 とおいたときのそれが一般解になるから、

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になります。初期条件はまた変わってくるかもしれないから積分定数を含んだ状態のものにしておきます。いま、定常状態から過渡状態にうつるとき、インダクタに流れていた電流は I = E/R0 であったため、初期条件は t=0 で i=I になります。したがって、

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のように電流が求まりました。今度は、電流が減衰していくのがわかります。このように、インダクタは、電流が流れていた時を定常状態とし、過渡状態に移行すると、最初は定常状態時に流れていた電流を流そうとする定電流源になることがわかります。時間が経つと、t=∞ で i=0 になるのでやはり短絡という扱いになりますね。
 エネルギーについては、前節のように、定常状態になるまでに蓄えられたエネルギーが、今度は放出されていき、抵抗で消費されます。試しに、定常状態のときインダクタに蓄えられていたエネルギー (公式により LI2/2) は、抵抗 R で消費されたエネルギーと等しいことを示しましょう。

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したがって、定常状態でインダクタに蓄えられたエネルギーは、過渡状態を通じて抵抗により消費されたことになります。

磁束鎖交数不変の原理

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 このような例は初期条件の決定が少々難しいので注意が必要です。回路の方程式と、一般解を積分定数付きで出すところまでは今までと全く同じなので、苦労しないと思いますが、右側の閉路において過渡現象時、右回り電流 i をおくと、回路の方程式と一般解は、それぞれ、

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となります。前節の R , L がそれぞれ R1+R2、L1+L2 になっただけなので何も与えられていない状態から解くならまだしも、この場合は上でもう同じ方程式を解いているので単に置き換えるだけで済みますね。
 しかし、ここからがやっかいになのです。とりあえず、初期条件を決定したいので、右側の閉路において、R1, L1 を流れていた電流を i1 とおきます。R2, L2 を流れていた電流は i2 とします。すると、それは定常状態においてインダクタはないものとみてよかったので、これはただの並列回路と同じで

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であることはすぐわかると思います。なんとなく今までの経験から、電流の連続性は約束されているように思えます。そう仮定すると、いま i は右回り電流だったので、i の初期条件は次のようになることが予想されます (こういう遠回しな書き方をしているということは、実際はそうじゃないということですけどね)。

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初期条件には二種類ある。まあ名前なんかはどうでもいいんですが、どういう区別かというと、単にスイッチを開いたといっても、開いたその瞬間は開いているとも、閉じているともいうことができます。開いた瞬間は瞬間でも閉じていた方よりの初期条件を第一種初期条件といい、i(0-) などと表記します (これは書籍などによって異なるので注意が必要です)。開いた側よりの初期条件を第二種初期条件といい、i(0+) などと表記します。逆に、スイッチを閉じる場合は当然この関係は逆になります。要するに、過渡現象に突入する前よりの初期条件が第一種初期条件、突入した直後よりの初期条件が第二種初期条件ですね。先に書いたようにまあ名前はどうだっていいことです。そうやって区別しないといけないということを知ればいいのですね。 だから上の式は、スイッチを開いた直後に最初に流れているはずの右回り電流 i の初期値は、開く前にその閉路を流れていた二つの電流の値の和に等しいだろう、ということになります。この初期値は、そのまま積分定数となりますが、こうして出した解には問題があります。このようにして出した解

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は、R1=R2 のとき、L の値に関係なく 0 になります。しかし、よく考えてみればこの回路は合成抵抗、合成インダクタンスを考えれば事実上抵抗一つにインダクタ一つ、の回路なのだから L の値に無関係に絶対に電流が流れないということは、前節の例を見ても、ありえ・・・ないですね。この場合、スイッチの開閉の瞬間の前後においても、電流の時間的連続性を仮定したことが誤りということになります。電流は不連続になってもよいのです。よく考えたら、E = RI というごく単純な回路において、途中で E を変えたらどうなるでしょうか。グラフ的には、電流は突然不連続変化します。つまり電流は不連続に変化することは特に不思議なことではなかったのです。そしてこの瞬間においても本当に時間的に連続でなければならないのは、一応電流も関係していますが、電流自体ではなく磁束数なのです。磁束は、Φ = LI で定義される量です (これも電磁気学で出る量ですが、ここでは「とりあえずそういうものがある」ということにしておきます)。要するに、成り立たなければならないのは i(0-)=i(0+) ではなく、Li(0-)=Li(0+) ということがいいたいのですね。これを磁束鎖交数不変の原理といい、このように直感的に第一初期条件=第二初期条件とならないような場合効力を持ちます。インダクタが一つしかない場合は両辺の L が同じなので結局 i(0-)=i(0+) ということでよく、直感的に初期条件がわかったんですね。それが前節までということです。このことから、初期条件は次のように定まります。

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右回り電流 i を正と仮定したので、定常状態における i2 が順方向、i1 が逆方向であるので、L1 の磁束数は L2 の逆符号でおかなければならなりません。これが正しい初期条件ということになります。また、鎖交磁束数不変の原理は、以下のように説明することもできます。スイッチ開閉前後において、その微小時間 dt とすると、その電流の変化量 di = i(0+) – i(0-) です。しかし、ここでおいた微小時間は微小時間というよりは無限小であるため、0 といってもいいでしょう、つまり、di にわずかにでも値があれば、無限大に発散することになり、L の電圧 L(di/dt) = ∞ となるのです。しかし、電源電圧は E であるため明らかに端子電圧が ∞ となることは矛盾してしまいます。したがって、 L(di/dt)=0 すなわち Li(0-) = Li(0+) ということです。たぶん電磁気学の難しいことを一切介さず、回路理論的に言うならこれが一番いい説明じゃないかと思います (これについて詳しくは、参考文献 2 番目に記されています)。

相互インダクタンスを含む回路の方程式

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 よくあるパターンに、上のようなものもあります (というか、私が授業で理解することを諦めたのがこの問題だったので、同じ悲しみを持つ人を生み出さないよう、怨みを込めて導入部だけ紹介します)。上記の回路において、t=0 でスイッチを閉じたときに流れる 1 次側電流と2 次側電流を求めるのですが、この向きだと両方とも上からか、下からか流れないと M が正にはならないので、M を正にするためにとりあえず 1 次側電流は絶対に右回りだから、2 次側を左回りと仮定して M を正として扱います。しかし、M の符号はどっちでもいいので面倒なら 2 次を右回りとしても何も問題はないです。

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これは、連立微分方程式となります。このかたちでは片方の式からもう片方のものを消去して簡単な微分方程式へ・・とはもっていけないので、とりあえず過渡解については、さっさと (さっさとといっても相当時間がかかる) 解を

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と仮定して解いてしまいます。なぜ同じ λt で解いてしまっていいのかという話ですが、これは、行列で表示すると、X’+AX+B=0 の形式になっており、形式的に線形微分方程式なので、X=Ceλt が類推できるからです (A, B, C, X は行列) ・・・と理解すればよいかと思います。

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あとは気が向いたら書きますが、もうほとんど終わったようなものなので、これを頑張って解きましょう。

「RL直流回路の過渡現象」への2件のフィードバック

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