ベクトル解析[6] – ガウスの発散定理と諸公式

※タイトルが赤い場所は勉強していて実用上それほど重要ではないと思ったので紹介程度にとどめてあります。

ガウスの発散定理とは何者なのか – 物理的意味の検討

 ガウスの発散定理 (Divergence theorem) は、ベクトル解析に出てくる定理でも最も重要な定理のうちの 1 つです。この定理は、以下の式で表現されます。ある閉曲面 S が囲む体積 V があるとき、

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が成立するというものです。実用上は、式さえ知っていればいいのですが、そんなのではしばらくしたら絶対に式の存在すら忘れてしまうと思うので、とりあえず、今までの知識でなんとか解釈を試みます。
 左辺はただの面積分ですから、”表面 S から流れ出る量” を表現しています。一方、右辺は、各微小点のまわりの微小体積における流出量を、その表面 S が囲む体積全体にわたって集計しています ([4] の最後で、発散を面積分によって定義したので、詳しくはその部分を参照)。この微小体積内の流出を考えてみてください。ある微小体積内の流出は、その隣の流入量でもあるわけです。つまり、そうなるような部分・・・表面内部における任意の微小体積の流出量は、体積分で集計すると、全て隣の流入量として打ち消されているのです。しかし、隣がなかったらどうでしょう。隣がないというのは、つまり表面においてのみ起こりうることです。このような場合は、隣がないので、流出 = そのまま体積全体からの流出と見ることができます。

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結局、流出量を体積内部にわたって調べ、集計すると、内部同士はすべて打ち消し合うため、最終的には表面の流出量しか問題にならないから、それは面積分で表面からの流出のみを調べて集計した場合と一致するでしょう、というのが予想されます。このことをいっているのが上の式です。このように覚えれば、当たり前といえば当たり前のことなので、忘れることはまずないでしょう。
 そう考えれば当たり前だし、これ何か使い道あるの?と思ってしまいそうですが、実はとんでもなく力強い定理です。以下、証明からはじめて、様々な公式を導出してみて、発散定理の威力を見てみます。

発散定理の証明は平面のグリーンの定理と似ている

 実を言うと、[5] で取り上げた平面のグリーンの定理は、ガウスの発散定理の特別な場合になっています。この発散定理は、空間のグリーンの定理とも呼ばれるほどです。そのため、証明方法から拡張方法まで、[5] において平面のグリーンの定理で考えてきた論法とほぼ同じように進行されます。そのように考えればある程度見通しが良くなるでしょう。特異点がある場合の対処法も全く一緒で、その結果はガウスの定理 (名前が似てるが発散定理とは違う) として有名であるほか、その定理を電磁気学に反映したガウスの法則もここから導くことが出来ます。
 証明にあたっては、これまた最も簡単な場合、各座標軸に平行な直線をどのように引いても、立体とは 2 回までしか交わることがない場合を考えます。(陽) 関数の定義より、1 つの x,y の組に対して z が 1 つだけ定まらなければなりませんが、閉曲面だとこの場合ほとんどの場所において 2 つ対応してしまうことが直感的に分かります。グリーンの定理に出てきたように、やはり陰関数であるとして 2 つの関数に分割するという手法がここでとられるのですね。

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このような感じで分割されるわけです (上の画像は f を使ってしまいましたが、よく考えたらかすでに f は使っていることに気づいたので、ラージ Z に訂正しておきます)。そして、やっぱり今度は軸が 3 つあるので、分割もこれだけじゃなくてあと 2 通りあるのも見えますね。
 とりあえず、グリーンの定理と同じく、右辺を分割し、

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で分けて考えます。上の図は、上下に、つまり z= の形で陰関数を分けましたから、z の偏微分から積分するよう仕向けると楽です (x, y の積分範囲は分からないが、z の積分範囲は陰関数で表示したから Z1 – Z2 という風に直に示せるため)。このため、∂f3/∂z の項から考えることとなります。

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となりました。R は V の xy 平面への射影を表します。Z1 も、Z2 も、同じ境界線でくっついているのですから、当然 x-y の積分範囲は一致するわけですね。で、ここで、結局発散定理は上の式が面積分と等しいことを示したいわけですから、これ以上計算しないで、このまま 2 重積分は面積分に戻すわけです。そのやり方は面積分の計算方法を検討した段階、[4] の時点で、すでに知っています。上の場合、面積分にしたいならば、dxdy=|n・k|dS であることを利用して逆に面積分に戻してやればいいのです。

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このようになります。こんなことが出来るのも、左の項は z 座標が Z1 つまり閉曲面の上側、右の項は Z2 つまり閉曲面の下側に沿うような関数であるからですね。ここで検討すべきなのが、内積 n・k の符号です。Z1 は当然外向きの単位法線ベクトルは k と正の角をなすため、そのままでよいのですが、Z2 の面積分においては、反対側を向いているため、常に鈍角をなす、すなわち n・k が負になってしまうため、マイナスをつけて矯正してあげなければなりません。したがって、結局のところ、

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であることがわかりました。他も全く同じようにして導くことができますので、省略します。結果的に、

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なので、各辺を足し合わせると、

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となり、最も簡単な場合においては、

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が成立することが証明できます。
 より複雑な場合も同じです。その場合は、立体を上で考えたような最も簡単な複数の閉曲面に分割すれば、個々について発散定理が成立します。しかし、くっついてる部分、つまり分割した切り口はそれぞれの閉曲面から見れば単位法線ベクトルが逆向きですので、互いに打ち消し合ってしまうため、結局複雑な図形でも発散定理が成立することがわかります。これはグリーンの定理でとった拡張方法と全く同じ発想です。
 また、多重連結空間とでもいうべきか、中に穴が開いていても同じです。穴が開いているところを真っ二つに切断してやれば結局切り口だけが打ち消し合って内部表面は生き残ることが分かります。

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切り口はおのおのの点の座標が全く同じで逆向きの法線ベクトルで面積分を集計することになりますから全て打ち消し合いますが、内部表面はくっついていませんから、打ち消し合いません。ここで注意して欲しいのが、内側の単位法線ベクトルは内向きです。結局、上の球の中に球が入っているような空間で発散定理を適用したい場合は、外側の球は外向き法線ベクトルで面積分、さらにそれに内側の球を内向き法線ベクトルで面積分したものを加えれば、この図形の空間において ∇・f を体積分したものと等しくなるのですね。やはり空間のグリーンの定理と呼ばれるだけあって、やり方がほとんど一緒なのです。

ガウスの発散定理で楽ができる

 さて、証明はいつやっても苦痛に感じるものですが、その後のお楽しみというべきか、実際何が力強いのか確認してみます。

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これは、面が 6 つあるので、面積分を 6 回もしなければなりません。真正面から行くと苦行です。しかし、発散定理を用いれば、

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で、答えが出ます。ていねい目に書いてもこれだけです。略していいところを略すれば 3 行で終わると思います。
 上の例は 6 回といっても暗算が効くから楽だろう、と思われるかもしれないので、もう一つ例を見てみます。

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この面積分を暗算でやるのはさすがに無理があります。これは射影を作って単位法線ベクトルを求めて・・・非常に面倒ですが、発散定理を使うと、なんと、

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これだけで終わってしまいます。このように、発散定理は面積分計算に素晴らしい威力を発揮します。何でもかんでもこんなに簡単に終わる例ばかりではありませんが、ほとんどの場合発散定理を適用すると (ただし閉曲面しか適用できないが)、このように真正面から面積分計算するより簡単です。

グリーンの第一恒等式 / グリーンの第二恒等式

 発散定理を用いると、以下のような公式が証明できます。

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上の式をグリーンの第一恒等式 (Green’s first identity)、下の式をグリーンの第二恒等式 (Green’s second identity) といいます。自分で書いていてなんですが、もはやただの顔文字にしか見えません。φ と ψ が目で ∇ が口ですね。2 は何でしょう・・・伸びた鼻毛ということにでもしておきましょう。
 さて、式の意味はよく分からなくても、証明自体は簡単です。安心のため書いておくと、様々な物理、ベクトル解析の書物をあさりましたが、この式を使っている場面は 1 回も見ませんでした。実際これが何に使えるのかはよく分かりませんが、発散定理の練習問題といったところなのでしょう。手法としては、単に右辺に発散定理を適用すればいいだけです。あとは [3] で紹介したようなナブラの公式を押さえていれば、すぐに証明できます。ナブラを d/dt のようなものとしてみれば、積の微分と同じことが行えるのですね。積の微分における d/dt が全部 ∇ に置き換わったと思えばよいだけなのです。
 まず、第一恒等式について、発散定理より、

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ですが、積の法則を適用すれば、中身は

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ですから、証明は終了です。
 もう片方も、全く同じようにして、

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で終了です。発散定理というよりは、∇ の練習といった感じでした。

勾配定理 / 回転定理

 発散定理だけでなく、勾配定理と回転定理というものもあります。ただしこれは発散定理から導出されるものなので、発散定理ほど重要度は高くありません。
 勾配定理は、

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として示されます。どちらも最終的にベクトルのままですので、体積分、面積分ともに積分結果がベクトルになるということも注意しなければなりません。これを証明するのは比較的簡単で、体積分 = 面積分の格好をしていますから、うまく発散定理を使えるように工夫します。任意の定ベクトルを置いておいて、スカラー面積分に仕立て上げればよいのです。右辺における φndS を、φC・ndS (C は定ベクトル) と置き換えます。すると、

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となりますが、定ベクトルはいかなる成分も微分すると 0 になるため、回転発散勾配どれを取ろうが 0 になります。したがって

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となりました。これじゃあ全然証明したいことと関係ない、かのように見えますが、定ベクトルは前に出せますから、内積の位置を変えると、

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となり、結局言いたかったこと、

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が証明できます。
 回転定理は、

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で表されます。これも両方とも積分するとベクトルができあがることに注意します。外積は内積ほどルールが緩くないためちょっと証明にはこつが必要です。ここでは、右辺の n×FdS を F×C・ndS に置き換え、発散定理を適用します。

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これで、証明したい式の左辺が出てきました。あとは右辺なのですが、これはスカラー 3 重積なので、同じく順巡りにさせると、

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となるため、回転定理が証明できます。

ナブラの一般的な定義

 これまでベクトルのようなものとして定義してきた記号、ナブラですが、上記の勾配定理・回転定理を用いると、ナブラにより一般的な定義を与えることが出来ます。これは、今までの定義では x,y,z 座標系にしか適用できないものでしたが、このような定義を与えることで他の座標系にも適用できるようになることを意味しています。
 その前に、以下のことを証明します。

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真ん中はすでに [4] の最後で証明されています。一番上と一番下は、右辺の面積分が発散定理・回転定理と似通った形をしているため、それらを用いるとよいことは大体想像がつきます。
 上から見てみます。やりかたとしては、すでに右辺の面積分は勾配定理そのままの形なので、どうにかして体積分の方から ΔV を出してやればよいことが見えます。そこで、積分の平均値の定理を使ってみましょう。積分の平均値の定理とは、一変数関数においては、ある区間 Δx において、必ず f(c)Δx が、Δx の区間分だけ f(x) を積分したものに等しくなるような c が存在するという定理でした。これは地ならしの定理ともいわれ、図的に言えば、f(x) は一般に曲線ですから、高いところもあれば低いところもあるわけです、なので、その間のどこかに点 c をおいて、そのときの f(x) の値 f(c) に Δx をかけた長方形の面積を作れば、その長方形のてっぺんからはみ出した部分と内側に侵入してしまっている部分がぴったり一致して長方形の面積と一致するような場合が必ずできるでしょう、ということをいっています。見方を変えれば、上の平均値の定理を使うと、積分記号から中身を外して、Δx を出せるともいえます。ここで使っているのは 3 変数関数ですから、この平均値の定理を 3 変数関数の場合に拡張すれば、微小区間 ΔV が出てくる、という風に考えることができます。一般に 3 変数関数は密度 (や温度) というふうに意味を与えられますので、ある空間で体積分すると、必ずその質量は、積分空間 ΔV における最大値・最小値に存在するある間の密度を単純にかけあわせたものと同じになるような場合が存在する、という風にとらえるとよいでしょう。
 以上のことを用いるためには、スカラーの体積分であることが必要です。しかし、勾配定理はベクトルを体積分しているため、このままでは使用することができません。そこで、各成分だけ抜き出してそれぞれに平均値の定理を適用する手法をとります。つまり、i, j, k との内積を取り、それによって各成分だけを取りだしてから定理を適用します。

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これで、(i は定ベクトルなので外に出すこともできるが、内側に入れたままなら) スカラーの面積分、体積分なので、平均値の定理より、

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となるような点が存在します。(i・∇φ)c というのは、3 変数関数 i・∇φ において、これを満たす点 C が存在するという意味です。1 変数関数でいう f(c) のようなものだと思ってください。
 以上から、両辺を ΔV で割り、極限を取ります。しかし、極限を取ると、いまさっき体積分した体積 V も 0 に近づくため、最終的には最大・最小区間のある点から、1 点へと収束します。つまりそれは、i・∇φ そのものとが 1 点に収束するということなので、これ自体に一致するようになります。

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これは j, k 成分でもそのまま成立するため、それぞれを足し合わせて、両辺 (i+j+k) との内積を消せば、求めたかった式は成立します。回転定理の場合についても、まったく同様にして示すことができます。
 以上を総合すると、

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が成り立つということですが、これを見ると、ナブラという記号は、

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と表記することもできることがわかります。これは、ナブラにより一般的な定義を与えたことになります。 (x, y, z が登場していない、つまり座標系によらない表記であるため) ただこれは、これ単体でナブラが計算できてしまうかのような誤解を与えてしまうので、やはり必ず右になにかくっつかなければ、上の式は何も意味をなさないことを付け加えておきます。両辺とも右に φ や ・f 、×f がくっついてはじめて意味をなすものです。上の状態のまま面積分を計算しても何も意味がありません。右に φ やらがくっついたものを面積分してはじめて意味をなします。

ガウスの定理

 上で紹介した赤いタイトルの部分は、学習上やらなければならなかったが、実用上そんなに問題にはならない (出番がない) ため、あと、あまり興味がないので紹介程度にしておきました。それよりも、発散定理の応用として最も重要であるのが、ガウスの定理です。これは電磁気学でも、ガウスの法則と名前を変えて序盤の方に出てくるため、いきなりこんなものを出されても、ベクトル解析の知識なしに理解できる人はそう多くないのではないでしょうか。そういう私も今発散定理のことを最低限理解してやっと言っている意味が分かりました。
 これは、以下のような定理です。

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任意の閉曲面について、上記の面積分は、原点を含む場合 4π、そうでない場合は 0 となることをいっています。
 さて、この定理の証明については、先に述べておくと見通しがよくなるので書いておきますが、なぜ原点を含んだらこんな変なことになるのかというと、発散定理は空間のグリーンの定理と言われているように、やはりそれの場合 ([5] の最後に述べた) と全く同じことで、上の被積分関数 rベクトル/r^3 は原点 O がただ 1 つの特異点であり、さらに、残りの点においては発散を取ると常に被積分関数は 0 だからです。
 上の面積分は、r=0 の場合だけは閉曲面内に特異点を持つので発散定理が適用できません。この例外は後で述べるとして、閉曲面が囲む体積内に原点が存在しないとき、発散定理より、

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ですが、これはナブラの積の法則に従えば、

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で、常に 0 となります (常にといっても、r/r^3 の定義域についてのみ。特異点についてはそもそも r/r^3 が定義されていないため、発散はその点においては存在しない)。したがって、原点を含まない場合はこれで 0 であることを示すことができました。
 いま、原点さえ含まなければ 0 であることがわかったので、グリーンの定理と全く同じようにして、原点のまわりに半径 a の十分小さな球を作ります。そうすれば、多重連結空間とでもいうべきか、穴あき球が出来るので、そこは特異点を含まないから 0 です。この球を S’ とおくと、

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となります。図的に今どういう状況になっているかというと、3 次元図を書くには私の小学生並の絵力では不可能なので、断面図で、

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ということになっています。したがって、内側の球の面積分というのは、単位法線ベクトルが内向きであることにも気をつけなければなりません。また、外側の閉曲面は書きやすさを選んで球のようにしましたが、こちらは任意曲面なのでどんな曲面でも問題ありません。要するに、変な曲面だと面積分が求めづらいので、発散定理で原点以外は 0 であることを利用して、一番求めやすい球を内側に作ってその面積分を求めればいいだけの問題にしてしまえ、ということなんですね。
 以上の式より、

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となり、半径 a の球 S’ の (内向き) 単位法線ベクトルとのスカラー面積分を求めればよいことがわかりました。しかしなんで球だと楽なの、と思われるかもしれないので、念のため書いておきますが、被積分関数が r の関数である場合、球の法線は常に r 方向にあるからです。S’ の表面での面積分ですから、常に内向き単位法線ベクトルは上の場合 -rベクトル/a で済むのですね。表面の面積分なので球表面においてはつねに rの大きさ=a 、r・r=a^2 であることにも注意すると、

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であることが証明できました。
 被積分関数の形をよくみてみると、これに定数をつければそのまま電界の式になっているのがわかります。つまり、この理論をそのまま流用してガウスの法則、閉曲面における電界のスカラー面積分 = q/ε あるいは 0 がすぐに導けるわけです。電気力線の本数を集計するために、任意の閉曲面をとって、そこから出る流束を面積分していたのですね。私はまだ本格的に電磁気学は学んでいませんが、最初教科書とにらめっこしていても何をいってるのかさっぱり分からなかったあの理論たちは、今こうしてベクトル解析の最低限の知識を持って挑めば、このように “ああ、あれだな” とすぐに飲み込むことができるようになると信じています。

連続の方程式

 発散定理で証明できる有名な物理の方程式に、連続の方程式というものがあります。連続の方程式とは、

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であらわされる式のことです。ρ(x,y,z,t) は 密度、v は速度を意味します。今まで検討してきた定義のまま解釈すると、その点から流れ出る流出量は、密度の時間的変化と等しいということをいっており、いいかえると、流れたらちゃんと減るものは減る、ということであって、”物質は勝手に出現したり消滅したりはしない” ことをいってるだけです。自然といえば自然な式です。もしそうでなければ目の前に女の子が降ってくるアニメ的な展開を現実世界にも期待するような人が後を絶ちませんからね。
 さて、ある体積区間における質量を計算するためには、密度を体積分すればよいので、

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となります。ここで、質量の変化率を表したいとすると、時間で偏微分すればよいですね。ρ は x,y,z,t 、つまり空間と時間が変数である一方、体積分は x, y, z のみに関係しているため、体積分の中に時間の偏微分を入れても問題ありませんので、

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一方、同じ微小体積において、そこから流れ出る質量にマイナスをつけたものは、上記の変化率と等しいはずです。マイナスをつける意味は、もちろん面積分で集計するからですね。これは面積分の定義より、”出る” ほうを正にしてしまっているため、変化率に反映させようとすると “減” を意味していますから、マイナスをつけなければならないのです。したがって、微小体積の表面 S における面積分を行いますが、質量はどのように表現すればよいでしょうか。それは、微小面積において、”速度” が作った、微小面積を底面とする平行六面体の箱に “密度” の重みをつけたもの、それを流出した量 = 質量とみて局所局所足し合わせていけば、計算することができます。(続く)

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